Kreyszig 공업수학 A - 상미분방정식(Ordinary Differential Equation)
공학자에게 수학이란?
자연 현상을 수학적으로 모델링한다.
수학적인 모델을 풀면 해가 나온다.
해를 통해서 자연 현상을 분석하고 예측한다.
이를 크게 세파트로 나누어보자.
- 미분방정식
- 해
- 초기조건
미분방정식
n계(nth order)
방정식에 들어있는 가장 높은 계수의 미분의 차수.
제일 높은게 이계미분이면 이계방정식.
상(Ordinary) vs 편(Partial)
함수의 독립변수의 갯수와 관계있다.
상미분방정식
\[y \sim x: \frac{dy}{dx}\]편미분방정식
\[u \sim x,y: \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}\]*partial 기호는 round라고 읽는다.
선형(Linear) vs 비선형(Nonlinear)
Linear system
\(a \rightarrow A\)
\(b \rightarrow B\)
\(a+b\rightarrowA+B\)
\(ka\rightarrowkA\)
\(c_1a + c_2b\rightarrowc_1A + c_2B\)
함수 중에는 이런 성질을 가지는 것은 하나밖에 없다.
y=mx와 같은 일차함수 꼴
미분방정식에서의 선형은?
어떤 방정식에 대해 f가 해이고, g가 해이면,
f+g도 해이고, cf도 해이고, cg도 해이고, cf+cg도 해이다.
선형상미분방정식
\[y' + P(x)y = r(x)\] \[y'' + P(x)y'+g(x)y=r(x)\]선형 상미분 방정식은 이런식으로 표현된다.
공학수학에서는 이를 다룬다.
Linear DE 예제
\[a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y^{(1)} + a_0(x)y^{(0)}=g(x)\]n계까지 있지만 계수는 x로만 이루어져있고, 우변에도 x에대한 식일 뿐이다.(\(y^{(n)}\)은 y를 n번 미분했다는 뜻) y의 제곱이나 y항끼리 곱해져있는게 없어서 선형적이다.
\[y+4xy'=0\] \[y''-2y'+y=x\]Nonlinear system
Nonlinear는 굉장히 제한적인 조건내에서만 풀 수 있기 때문에 어렵다.
거의 풀 수 없다고 생각할 수 있다.
값을 잘 집어넣어가며 푸는 것이다. 이를 Numerical Method라고 한다.
Non-Linear DE 예제
\[(1-y)y'+2y=e^x\]y항끼리 곱해져있다.
\[y''+sin(y)=0\]y에 대한 초월함수가 있다.
Homogeneous vs Nonhomogeneous
한국어로는 제차, 비제차.
\[y' + P(x)y = r(x)\] \[y'' + P(x)y'+g(x)y=r(x)\]여기서 좌변은 y와 상관이 있는 항들이며, 우변은 y와 상관이 없다.
여기서 우변의 r(x)가 0이면, Homogeneous라고 하고,
우변의 r(x)가 상수항이라도 살아있으면 Nonhomogeneous라고 한다.
해(Solution)
미분방정식을 만족시키는 미지수를 해라고 한다.
\[y=h(x)\]위와같은 형태로 x로 이루어진 y의 explicit form을 얻는 것이 해를 찾는 것.
방정식 vs 미분방정식
방정식
\[x+3=2x-1\]- 변수는 x(Unknown scalar)
- 계수는 상수 e.g. 1,3,2,-1
미분방정식
\[2y'+(t+7)=(t-1)y-2\]- 변수는 y(t)(Unknown function)
- 계수는 함수 e.g. 2,t+7,t-1,-2
일반해(General solution)
\(y'=0\) 의 해는 무엇이 있을까?
\(y=1,2,3,...\)
무수히 많다.
이들을 일반적으로 표현해보자.
다른 예제로는
\[y=c/x\] \[y=sinx+c\] \[y=ce^{0.2t}\]이렇게 임의의 상수 c가 포함된 형태로 일반적으로 표현하는 것을 일반해라고 한다.
특수해(Special solution)
상수가 초기조건에 의해서 결정되는 경우.
\(y'=0, y(0)=1\) 의 해.
일반해는 특수해를 포함하는데, 그 일반해에 초기조건을 적용시키면 특수해가 얻어진다.
2nd Linear ODE Example
또 다른 예를 들어보자.
\[y''+y=0\] \[y=sinx,cosx,...\]일반해
\[y=c_1 sinx+c_2 cosx\]특수해
그러나 초기조건이 다음과 같다면,
\[y(0)=1, y'(0)=0\]다음으로 특정하게 표현할 수 있다.
\[y=cosx\]부연설명하자면, 이 예제는 이계 선형 상미분방정식이다. 그러면 일반해는 상수를 두개를 가진다. 그럼 조건도 두개가 나와야한다.
일반적으로 n계 선형상미분방정식의 경우 일반해의 상수가 n개가 필요하다. 여기서 특수해를 얻으려면 n개의 초기조건이 주어져야 한다.
모델링
독립변수와 종속변수
\(y \sim x\)의 경우, 예를 들자면
\[y'=cosx\] \[y''+9y=e^{-2x}\]이러한 경우 x는 독립변수이고, y는 종속변수이다.
독립변수는 시스템의 기준을 나타낸다. 물리에선 x를 시간으로 많이 상정하곤 한다.
종속변수는 그 기준에 맞춰서 변하는 값을 의미한다.
복잡한 시스템을 미분방정식을 세움으로써 모델링할 수 있고,
그 모델을 품으로써 시스템을 분석할 수 있다.