2nd Linear ODE
2계 선형 상미분방정식은 정말 중요하다!
뉴턴의 제2법칙이 F=ma인데, a 자체가 변위에 대한 2계미분이다. 그래서 동역학, 움직이는 물체를 기술할 때 2계 상미분방정식 형태로 나오는 경우가 정말 많다. 역학뿐만 아니라 다양한 분야에서 2계방정식을 사용한다.
2계는 1계나 3계, 4계 등과는 비교도 안될정도의 중요성을 지닌다. 그렇기 때문에 kreyszig A파트의 대부분이 2계를 중심으로 기술된다.
2nd linear ODE의 표현
\[y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)\]위와 같이 표현된다. 여기서 r(x)가 0이냐 아니냐에 따라 homogeneous냐 non-homogeneous냐로 갈린다.
Homogeneous ODE
\[y''+p(x)y'+q(x)y=0\]이 방정식을 만족시키는 해가 \(y_1,y_2\) 두개가 있다고 해보자. 이 두개의 해는 기저(basis)라고 하는데, 이 둘이 서로 일차독립이면 이계방정식의 일반해를 다음과 같이 쓸 수 있다.
일반해(General solution)
\[y=c_1y_1+c_2y_2\]두개의 해를 기저(basis)라고 하는 이유는, 둘의 선형 결합 꼴로 y가 표현되기 때문이다.
선형방정식이기 때문에 가능한 일이다.
일차독립
일반해 식의 꼴을 일차결합, 또는 선형결합이라고 한다. 만약 \(y_2\)가 \(y_1\)의 상수배의 형태라면, 예를들어 \(y_1=x\)이고 \(y_2=2x\)라면 위와같은 꼴이 의미가 없어진다. 결국 \(y_1\)하나만으로 전부 표현이 가능해지기 때문이다.
정리하자면, 2nd linear ODE는 두개의 기저를 갖고, 두 기저의 선형결합으로 일반해를 표현할 수 있다.
Example
\(y''+y=0\)
위와 같은 식이 주어졌을 때, 어떻게 해를 구할것인가?
사실 어떻게 되든 해는 다음과 같음을 알아냈다.
y~cosx, sinx
이유는 다음에.
두개의 해를 찾았는데 이 둘은 일차독립이다. cosx에 아무리 상수배를 해도 sinx가 될 수 없기 때문이다. 그러면 일반해를 다음으로 표현할 수 있다.
\[y=c_1cosx+c_2sinx\]Why?: Superposition Principle
해를 \(x_1,x_2\)라고 할 때,
\[y''(x_1)+y(x_1)=0\] \[y''(x_2)+y(x_2)=0\] \[y''(c_1x_1+c_2x_2)+y(c_1x_1+c_2x_2)=0\]각 식이 성립하면 둘을 상수배하여 더해도 성립한다.
해에 관한 존재조건
Homogeneous ODE 해의 존재조건에 대해 알아보자.
Existence
p(x)와 q(x)가 연속함수이면 해는 반드시 가진다.
Uniqueness
p(x)와 q(x)가 연속함수이면 일반해는 유일하게 존재한다.
예를들어 sinx, cosx가 기저인 이계 상미분 방정식에 대해서는 절대로 다른 이상한, logx와 같은것들이 해가 될수는 없다는 것이다. 어떤 일반해가 존재한다면, 다른 형태의 해는 절대로 존재하지 않는다.
그렇기 때문에 어떤 방식으로든(감으로 때려 맞추든, 전개를 해보든, 뭘 어떻게 하든) 기저 두개만 찾으면 모든 것을 다 표현할 수 있게 된다.
한양대 공수I Lec.5 1:04:20
계수내림법(Reduction of order)
그러나 가끔 기저를 하나밖에 못 찾을 때가 있다. 다행이도 하나의 기저를 알고 있으면 그것을 이용해 또 다른 기저를 찾는 방법이 있는데, 그것이 계수내림법이다.
예를 들어 우리가 \(y_1\)이라는 기저를 찾았다. 그러나 \(y_2\)를 구하기가 너무 어렵다.
그런데 \(y_2=u(x)y_1\)꼴로 표현이 가능하다고 가정할 때(\(y_2\)가 \(y_1\)에 x에 관한 함수인 u(x)를 곱한 형태일 때) 이 가정된 형태를 다시 원래의 미분방정식에 집어넣어 \(y_2\)를 찾는 것이다.
\(y_2=u(x)y_1\)는 u에 대한 1차 ODE가 된다. 전개해보면 Homogeneous한 1차 ODE가 되므로 무조건 풀 수 있다.
한양대 공수I 6강 50분대 확인.
Example
\[y''-6y'+9y=0\]위와같은 Linear ODE가 있다. 어떤 방식을 통해 \(y_1=e^{3x}\)임을 발견하였다.
그럼 두번째 기저를 다음으로 표현해본다.
\[y_2=ue^{3x}\]그리고 미분을 해보자.
\[y_2'=u'e^{3x}+3ue^{3x}=(u'+3u)e^{3x}\] \[y_2''=(u''+3u')e^{3x}+3(u'+3u)e^{3x}=(u''+6u'+9u)e^{3x}\]이를 주어진 방정식에 대입을 해보자.
\[(u''+6u'+9u)e^{3x}-6(u'+3u)e^{3x}+9ue^{3x}=0\]이를 정리하면 아주 간단하게 되는데,
\[u''=0 \rightarrow u=ax+b\]이 경우 u=ax+b의 형태면 무엇이든 만족하게 되는데, 그냥 가장 간단한 것을 선택하면 된다.
\(u=x\)를 선택해보자.
\[\therefore y_2=xe^{3x}\]일반해: \(y=c_1e^{3x}+c_2xe^{3x}\)
Nonhomogeneous ODE
Nonhomogeneous란?
\[y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)\] \[r(x) \ne 0\]우변의 r(x)가 0이 아닌것을 의미한다.
해
해의 형태
\[y=y_h+y_p\]일반해
\[y=c_1y_1+c_2y_2+y_p\]\(y_n\)은 homogeneous solution이고(nullspace),
\(y_p\)는 particular solution이다.
기존에 특수해를 구하는 방법은 일반해에 초기조건을 대입하는 방식으로 구하였다. 그러나 nonhomogeneous에서는 \(y_p\)에 해당하는 particular soltuion을 구한 상태에서 초기조건을 대입하여 또다시 특수해를 구하면서 상수항을 고정시켜야 한다.
\(y_p\)없이 초기조건을 구하면 안된다.
Nonhomogeneous의 공학적 의미
First-order linear ODE의 Standard Form은 다음과 같다.
\[y'+p(x)y=r(x)\]공학적 시스템에서 일반적으로 입력은 \(r(x)\)에 들어가게 된다.
예를들어 회로에서 입력단에 가해주는 신호같은 것들.
그리고 좌측변은 우리 시스템의 특성을 표현하는 항이다.
입력(r(x))을 주었을 때 출력 y가 나오는 시스템 S가 있다고 하자.
이 시스템 S 자체의 특성을 수학적으로 모델링 한 것을 Homogeneous solution이라고 할 수 있다.
여기에 입력과 그에 해당하는 출력까지 생각한 것을 Nonhomogeneous solution이라고 할 수 있다. 시스템의 특성을 가지면서도 출력값의 bias를 고려하는 것이다.
이를 예를 들때 주로 질량-용수철-감쇠(Mass-spring-damper) 시스템을 이야기한다.
천장에 계수 k의 용수철이 달려있고, 용수철 아래에는 질량 m의 공이 달려있다.
y만큼의 변위를 가지고, 공 아래에는 계수 c의 감쇠가 있다.
공에 가해지는 힘을 F라고 한다.
이 시스템의 특성을 모델링하면 다음과 같이 된다.
\(my''+cy'+ky=0\)
그러나 이 시스템을 위아래로 흔들면,
\(my''+cy'+ky=F\) 가 된다.
예를 들어 F가 sinx라면,
\(my''+cy'+ky=sinx\) 가 되는 것이다.
어떤 시스템에 입력을 줬을 때 시스템 자체의 출력은 \(y=y_h+y_p\) 꼴로 나오게 된다.
대부분의 경우 시간이 많이 흐르면 \(y_h\)는 의미가 없고, \(y_p\)만 남는 경우가 많다.
그렇기 때문에 \(y_p\)를 정상상태해(steady-state solution)이라고 하기도하고, \(y_h\)를 transient state solution이라고 한다.
이는 문제를 풀어보면서 확인하자.
정리
정리하면, nonhomogeneous 방정식에 대해서는 해가 homogeneous의 solution과 particular solution \(y_p\)를 따로 구해서 더해서 일반해를 만든다. 이 일반해에 초기조건을 집어넣어 다시 특수해를 구한다.
2계보다 높은 계수의 방정식에도 마찬가지로 적용된다.