2nd Linear ODE
2계 선형 상미분방정식의 기저 두가지를 구하는 방법.
먼저 방정식의 특수한 경우 두가지에 대해 먼저 다룬다.
다음으로 이 특수한 경우가 아닌 일반적인 경우에 대해서는 다른 방법으로 구하도록 한다.(책에선 Ch. 5)
상수계수인 방정식과, Euler-Cauchy라고 불리는 방정식에 대해서 기저가 어떻게 찾아지는지를 알아본다.
- 상수계수
- Euler-Cauchy
- 그 외의 방법
상수계수를 갖는 방정식
\[y''+ay'+by=0\]이렇게 방정식의 계수가 전부 상수일 때, 이는 몇 번을 미분하든 그 형태가 변해서는 안된다는 뜻이다.
\[y=e^{\lambda x}\]위의 가정 하에 특성방정식을 만들면,
특성방정식
\[{\lambda}^2 + a \lambda + b = 0\]\(\lambda\)에 대한 2차방정식이 나오는데, 이차방정식의 해는 세가지 경우가 있다.
- 두 실근
- 중근
- 두 허근
일반해
각 근이 기저의 역할을 하며 Linear Combination 되는 형태인 것을 볼 수 있다.
두 실근 α, β
\[y=c_1 e^{\alpha x} + c_2 e^{\beta x}\]기저들의 선형결합.
중근 α
\[y=c_1 e^{\alpha x} + c_2 x e^{\alpha x}\]상미분방정식에선 기저가 두개있어야 한다.
기저를 하나 알고있을 때, 다른 기저를 찾는 방법 - 계수내림법 우변의 첫번째 항은 알고 있으니까, 두번째 항을 계수내림법을 이용해 구한다.
두번째 기저엔 \(x\)가 곱해진 형태로 나온다.
두 허근 α ± iω
\[y=c_1 e^{\alpha x} cos \omega x + c_2 e^{\alpha x} sin \omega x\]해의 형태를 지수함수로 가정을 하였는데, 왜 cos와 sin이 나오는걸까?
기저
만약 \(y_1, y_2\) 두개의 기저가 있다면, 꼭 이것만을 기저로 삼지 않아도 된다.
\(\frac{y_1+y_2}{m},\frac{y_1-y_2}{n}\)를 기저로 삼을 수도 있다.
위의 경우를 두가지 기저로 사용할 수도 있지만, 실수함수로 바꾸고자 이러한 아이디어를 사용할 수 있다.
오일러 공식
\[e^{ix}=cosx+isinx\]오일러공식을 이용하면,
\[y_1=e^{(\alpha + i \omega)x}=e^{\alpha x} e^{\omega x}= e^{\alpha x} (cos \omega x + i sin \omega x)\] \[y_2=e^{(\alpha - i \omega)x}=e^{\alpha x} e^{i(- \omega x)}= e^{\alpha x} (cos (- \omega x) + i sin (- \omega x))\]cos는 우함수이고 sin은 기함수이므로,
\[y_2= e^{\alpha x} (cos \omega x - i sin \omega x)\]이를 이용해 새로운 기저를 잡으면 된다.
\[(\frac{y_1+y_2}{2},\frac{y_1-y_2}{2})\]를 새로운 기저로 잡으면,
\[y=c_1 e^{\alpha x} cos \omega x + c_2 e^{\alpha x} sin \omega x\]Euler-Cauchy 방정식
Euler-Cauchy 방정식은 극좌표계 \((R, \theta)\)에 대해 모델링이 된 경우 이와같이 표현된다.
\[x^2 y'' + a x y' + by = 0\]미분의 차수만큼 x가 곱해져있다. 이 방정식에 대해서는
\[y=x^m\]임을 가정할 수 있다. 이를 이용하면,
\[m^2 + (a-1)m + b=0\]m에 대한 2차방정식이 얻어진다. (Auxiliary equation)
일반해
두 실근 α, β
\[y=c_1 x^{\alpha} + c_2 x^{\beta}\]중근 α
\[y=c_1 x^{\alpha} + c_2 lnx x^{\alpha}\]상미분방정식에선 기저가 두개있어야 한다.
기저를 하나 알고있을 때, 다른 기저를 찾는 방법 - 계수내림법 우변의 첫번째 항은 알고 있으니까, 두번째 항을 계수내림법을 이용해 구한다.
두 허근 α ± iω
\[y=c_1 x^{\alpha} cos(\omega lnx) + c_2 x^{\beta} sin(\omega lnx)\]Wronskian
p(x), q(x) are continuous on an open interval I
Two solutions \(y_1,y_2\) are linearly dependent on I iff their Wronskian:
\[W(y_1,y_2)=y_1y'_2-y_2y'_1\]=0 at some \(x_0\) in I.
어떤 점 x=x0에서 W=0이라면 전체 I에서 W=0.
아니라면 y1,y2는 linearly dependent하다.
이를 체계적으로 분석할 수 있는 도구가 Wronskian
Corollary
현재까지는 Homogeneous에 대해서만 구했다.
다음은 Nonhomogeneous에 대해 particular solution을 찾는 법에 대해 알아보자.