2nd Linear ODE - Nonhomogeneous
두 가지 방법이 있다.
- 미정계수법
- 매개변수변환법(Ch. 2.10)
미정계수법은 실용적이고 많이 사용되는 방법이지만 제약이 많다.
반면 매개변수변환법은 아무런 제약이 없지만 많이 사용되진 않는다.
Nonhomogeneous의 해
Nonhomogeneous의 해는 다음과 같다.
\[y=y_h+y_p\]미정계수법
\[y'' + ay' + by = r(x)\]a,b는 상수이다.
여기서 r(x)가 0이 아닌 지수함수, 삼각함수, 다항함수인 경우에만 풀 수 있다.
로그함수가 나오는 경우 풀 수 없다.
지수함수, 삼각함수, 다항함수의 경우는 미분을 하더라도 형태가 변하지 않기 때문.
로그함수는 형태가 바뀐다.
풀이법
Nonhomogeneous식을 미정계수법으로 푸는 순서는 다음과 같다.
- \(y_h\)먼저 계산!
- \(r(x)\)와 유사한 형태로 \(y_p\)를 가정
- \(r(x)\)가 \(y_h\)의 기저 형태라면, \(x\)를 서로 달라질 때 까지 계속 곱한다.
- \(r(x)\)가 여러개의 항으로 이루어진 경우, 각 항에 대해 \(y_p\)를 구하여 모두 더한다.
세번째 항목의 \(y_h\)(기저) 형태라는 것은 \(y_h=c_1 e^x + c_2 e^(-x)\) 와 같은 경우 \(y_p=A e^x\)로 가정하여 푼다는 것인데, 이렇게 하면 기저이기 때문에 당연히 방정식을 성립한다. 그렇기 때문에 계수를 정한다거나 하는 것이 불가능해진다. 이 경우 \(x\)를 곱하거나, \(x^2\)를 곱해서 계수를 정하게 된다.
마지막 항목의 경우 각각의 항이 예를 들어 지수함수항, 삼각함수항 이런식으로 있을 때 각각의 \(y_{p1}, y_{p2}, y_{p3},...\)을 구해서 전부 더해주는 것이 전체 \(y_p\)라고 할 수 있다는 것이다.
\(r(x), y_p\) table
\[\begin{array}{|c|c|} \hline r(x) & y_p \\ \hline ke^{\sigma x} & Ae^{\sigma x} \\ kx^n & A_n x^n + A_{n-1} x^{n-1} + \cdots + A_0 \\ k sin \omega x, k cos \omega x & Acos \omega x + B sin \omega x \\ k e^{\sigma x} sin \omega x, k e^{\sigma x} cos \omega x & A e^{\sigma x} cos \omega x + B e^{\sigma x} sin \omega x \\ \hline \end{array}\]지수함수
\[ke^{\sigma x} \leftrightarrow Ae^{\sigma x}\]r(x)가 지수함수가 주어지면 똑같이 지수함수로 가정.
다항함수
\[kx^n \leftrightarrow A_n x^n + A_{n-1} x^{n-1} + \cdots + A_0\]다항함수가 주어지면 똑같이 다항함수로 가정하되, n차 다항식이 주어지면 n차 이하와 상수항까지 모조리 가정해야한다.
삼각함수
\[k sin \omega x, k cos \omega x \leftrightarrow Acos \omega x + B sin \omega x\]sin만 있더라도, cos만 있더라도 cos, sin 모두를 가정해야한다.
지수함수와 삼각함수의 곱
\[k e^{\sigma x} sin \omega x, k e^{\sigma x} cos \omega x \leftrightarrow A e^{ \sigma x} cos \omega x + B e^{ \sigma x} sin \omega x\]마찬가지로 cos만, sin만 있더라도 cos, sin모두 가정.
미정계수 A, B
이 계수를 정하게 되면 우리가 \(y_p\)를 얻게 된다.
그렇기 때문에 미정계수법이라는 이름이 붙었다.
Example 1
\[y''+y=x^2\] \[y(0)=0, y'(0)=1\]Homogeneous solution
\[y_h=c_1 cosx+c_2sinx\]간단하게 구할 수 있다.
그런데 \(r(x)\)가 기저와 다른 형태이다.
다항함수로 가정하면 된다.
Particular solution
이차다항식으로 가정하자. 이 때 최고 차항만을 가정하는 것이 아니라 그보다 낮은 차수의 항도 전ㅂ주 가정해야 한다.
\[y_p=A_2 x^2 + A_1 x + A_0\] \[y'_p=2A_2 x + A_1\] \[y''_p=2A_2\]대입하기
\[A_2 x^2 + A_1 x + (A_0+2A_2)=x^2\] \[A_2=1, A_1=0, A_0=-2\] \[y_p=x^2-2\] \[y=y_h+y_p=c_1 cosx + c_2 sinx + x^2 - 2\] \[y'=-c_1 sin x + c_2 cos x + 2x\]초기조건을 이용하면,
\[c_1=2, c_2=1\] \[\therefore y=2 cos x + sin x + x^2-2\]Example 2
\[y''+5y'+6y=e^{-2x}\] \[y(0)=0, y'(0)=0\]Homogeneous solution
\[y_h=c_1 e^{-2x} + c_2 e^{-3x}\]기저와 r(x)가 같은 형태임을 알 수 있다.
그러면 x를 곱해야한다.
Particular solution
여기서 다음과 같이 가정하면 안된다.
\[y_p=A e^{-2x}\]이러면 그냥 0=0이 되어버린다.
x를 곱해서 다음과 같이 가정하자.
대입하기
\[Ae^{-2x}=e^{-2x}\] \[A=1\] \[y_p=x e^{-2x}\] \[y=y_h+y_p=c_1 e^{-2x} + c_2e^{-3x} + x e^{-2x}\] \[y'=-2c_1 e^{-2x} -3 c_2 e^{-3x} + e^{-2x}\] \[c_1 + c_2 = 0\] \[2c_1 + 3c_2 = 1\] \[c_1=-1, c_2=1\] \[\therefore y=-e^{-2x} + e^{-3x} + x e^{-2x}\]Example 3
\[y''+6y'+9y = e^{-3x}\]Homogeneous solution
\[y_h=c_1 e^{-3x}+ c_2 x e^{-3x}\]역시나 기저와 r(x)가 같은 형태.
그러면 x를 곱해야한다.
Particular solution
그냥 가정하면 안되고, \(x\)를 곱한것으로 해도 안되니까 \(x^2\)을 곱한다.
\[y_p=A x^2 e^{-3x}\]Example 4
\[y''+6y'+9y = e^{-3x} + cosx + 2x^2+1\]위와같이 항이 여러개면 각각에 대해서 particular soltuion을 구해야한다.
Particular solution
\[y_{p1}=A x^2 e^{-3x}\] \[y_{p2}=Bcosx + Csinx\] \[y_{p3}=D x^2 + Ex + F\]을 먼저 두고, 각 \(y_{pn}\)에 대하여 우변에 해당하는 항만 존재한다고 생각하고 A, B, C, D, E, F를 구해야 한다.
첫번째 식에선 \(y''+6y'+9y = e^{-3x}\)
두번째 식에선 \(y''+6y'+9y =cosx\)
세번째 식에선 \(y''+6y'+9y =2x^2+1\)
매개변수변환법
\[y''+p(x)y'+q(x)y = r(x)\]여기서 \(p(x),q(x)\)가 상수가 아니어도, \(r(x)\)가 어떠한 함수라도 상관없다.
Homogeneous solution이 다음과 같을 떄,
\[y_h=c_1 y_1 + c_2 y_2\]\(y_1, y_2, r(x)\)를 이용하여,
\[y_p=\int \cdots\]이런식으로 공식을 이용하여 구하는 것이다.
Homogeneous solution + Wronskian 을 이용하여 구한다.
이건 책보면서 공부해봐야한다..
그러나 지수함수, 다항함수, 삼각함수를 벗어나는 물리현상은 잘 없기 때문에, 모델링할 일이 잘 없다.
이렇게 2계 ODE에 대해서는 끝났다고 보면 된다.
n계 ODE에서도 마찬가지다.
Homogeneous구하고, Particular구하고, 하는식으로 마찬가지다.
Kreyszig Ch.3을 참고하자.