Power Series Method
한글로는 거듭제곱수, 멱급수라고 한다.
\[y''+p(x)y'+q(x)y=0\]위와 같은 Homogeneous한 2계 방정식에 대해서 얘기해보자.
현재 미정계수법이나 Euler-Cauchy 방법에 대해서 알고 있는데, 이는 매우 특수한 경우이다.
그러면 특수하지 않은 일반적인 경우에 대해 해를 어떻게 찾을 수 있을까?
거기에 해당하는 방법이 Power Series다.
\(p(x),q(x)\)가 일반적인 함수일 때,
\[y=a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots = \sum_{m=0}^{\infty} a_m(x-x_0)^m\]위와같은 형태로 가정해서 해를 구하는 방법이다.
\(x_0\)를 중심으로 거듭제곱급수로 표현하는 것임.
주로 \(x_0=0\)을 많이 사용하는데, 이 경우는 다음과 같아진다.
\[y=a_0 + a_1x + a_2x^2+a_3x^3+\cdots = \sum_{m=0}^{\infty} a_mx^m\]이를 집어넣으면 기저가 두개 발견된다.
\[y=c_1 y_1 + c_2 y+2\]위 식의 형태로 정리된다.
Example 1
\[y''+y=0\]위 식은 굳이 power series를 쓰지 않아도 되지만 한번 적용해보도록 하자.
\[y=a_0+a_1x + a_2x^2 + a_3 x^3 + \cdots = \sum_{m=0}^{\infty}a_m x^m\] \[y'=1 a_1 + 2 a_2 x + 3 a_3 x^2 + \cdots = \sum_{m=1}^{\infty} m a_m x^{m-1}\] \[y''=1 2 a_2 + 2 3 a_3 x + \cdots = \sum_{m=2}^{\infty} (m-1) m a_m x^{m-2}\]풀이
\[y''+y=0\]이 식이 성립하려면
\[y=\sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m\] \[y''=\sum_{m=2}^{\infty} (m-1)ma_mx^{m-2}\]이 둘을 더해서 0이 되어야한다!
\[\sum_{m=2}^{\infty} (m-1)ma_mx^{m-2}+\sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m =0\]여기서 둘의 차수가 달라서 어떻게 할수가 없다.
그렇기 때문에 index를 적절히 조정해서 차수를 똑같이 맞춰주자.
보통은 \(x^m\)에 맞춘다.
위와같이 치환하면,
\[m=s+2\] \[\sum_{s=0}^{\infty} (s+1)(s+2)a_{s+2}x^{s}+\sum_{s=0}^{\infty} a_s x^s =0\] \[\sum_{s=0}^{\infty} [(s+1)(s+2)a_{s+2}+a_s] x^s = 0\]다 더해서 0이 되려면, \(x^s\)의 계수가 0이 되어야 한다.
\[\therefore a_{s+2} = - \frac{a_s}{(s+1)(s+2)}\]그러면 이러한 점화식을 얻는다.
이를 토대로 하나씩 일일이 \(a_m\)을 다 구할것이다.
\(s=0\) 이면,
\[a_2=- \frac{a_0}{1 \cdot 2}\]\(s=1\) 이면,
\[a_3 = - \frac{a_1}{2 \cdot 3}\]\(s=2\) 이면,
\[a_4 = - \frac{a_2}{3 \cdot 4} = \frac{a_0}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}\]\(s=3\) 이면,
\[a_5 = - \frac{a_3}{4 \cdot 5} = \frac{a_1}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}\]규칙성이 발견된다.
\(s=4\) 일때는
\[a_6 = - \frac{a_0}{6!}\]일 것이다.
짝수인 케이스와 홀수인 케이스로 나눠진다.
짝수면 \(a_0\)으로,
홀수면 \(a_1\)으로 정리된다.
\[a_{2m}=(-1)^m \frac{a_0}{(2m)!}\] \[a_{2m+1}=(-1)^m \frac{a_1}{(2m+1)!}\]이러면 우린 Power Series를 얻은 것이다.
\[y=a_0 \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \frac{x^2m}{(2m)!} + a_1 \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}\]Kreyszig Ch.5.1 보면 Power Series에 대해 잘 나와있다.
위 식의 우변의 첫번째 항은 \(cosx\)와 같다.
두번째 항은 \(sinx\)와 같다.
결론적으로 다음으로 정리된다.
\[y=a_0 cosx + a_1 sinx\]Example 2
\[y''+xy=0\]이는 상수계수도 아니고 Euler-Cauchy도 아니기 때문에 Power Series로 풀어야 한다.
\[y=\sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m\] \[y''=\sum_{m=2}^{\infty} m (m-1) a_m x^{m-2}\]그대로 대입하면
\[\sum_{m=2}^{\infty} m(m-1) a_m x^{m-2} + \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^{m+1} = 0\]두번째 항에서 \(x^{m}\)이 아니라 \(x^{m+1}\)인 이유는 x가 곱해져있기 때문이다.
차수를 \(x^m\)에 맞추자.
좌변은
\[m-2=s\] \[m=s+2\]우변은
\[m+1=s\] \[m=s-1\]치환하면,
\[\sum_{s=0}^{\infty} (s+2)(s+1) a_{s+2} x^s + \sum_{s=1}^{\infty} a_{s-1} x^s = 0\]그냥 아예 묶을 순 없다.
1차부터 공통이라 묶을 수 있다. 그럼 0일때가 남는데, 그것만 따로빼준다.
\[2 \cdot 1 \cdot a_2 + \sum_{s=1}^{\infty} [(s+2)(s+1)a_{s+2} + a_{s-1}] x^s = 0\]여기서 우리는 다음을 알 수 있다.
\[a_2=0, a_{s+2}=- \frac{a_{s_1}}{(s+1)(s+2)}\]이제 하나하나 살펴보자.
\(s=1\) 일때
\[a_3 = - \frac{a_0}{2 \cdot 3 }\]\(s=2\) 일때
\[a_4 = - \frac{a_1}{3 \cdot 4}\]\(s=3\) 일때
\[a_5 = - \frac{a_2}{4 \cdot 5} = 0\]\(s=4\) 일때
\[a_6 = - \frac{a_3}{5 \cdot 6}= \frac{a_0}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6}\]\(s=5\) 일때
\[a_7 = - \frac{a_4}{6 \cdot 7} = \frac{a_1}{3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7}\]\(s=6\) 일때
\[a_8 = 0\]일반형으로 예쁘게 표현하기 힘드니 그냥 하자.
\[y=a_0[1-\frac{1}{2 \cdot 3}x^3 + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6}x^6+ \cdots] + a_1[x - \frac{1}{3 \cdot 4}x^4 + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7}x^7+ \cdots]\]대괄호 하나가 하나의 기저다.
해석적(Analytic)
그런데 이 방법을 모든 문제에 대해서 쓸 수 있을까?
그렇지 않다. 조건이있다.
함수 \(f(x)\)가 \(x=x_0\)에서 해석적이다.
\(f(x)\)가 \(x=x_0\)에서 Power Series 형태로 표현이 되어야한다.
“이 점에서 연속이면서 무한히 미분가능하다” 라는 조건이라고 생각하면 된다.
\[y''+p(x)y' + q(x)y=0\]\(p(x), q(x)\)가 해석적이면 Power Series를 통해 해를 찾을 수 있다.
안되는 경우
\[y''+\frac{1}{x}y' + \frac{1}{x^2}y=0\]이것이 \(x=0\)에서 해석적이지 않다.
이 경우 \(y=\sum a_m x^m\)으로 가정해서는 해를 찾을 수 없다.
\(y=\sum a_m (x-1)^m\) 이런 식으로 가정하면 찾을 수 있을지도 모른다.
해석적이지 않아도 해를 구할 수 있는 방법이 있긴하다. 나중에 다뤄보자.