Legendre Equation
Power Series Method를 이용해서 Legendre Equation을 풀어보자.
\[(1-x^2)y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0\]어떤 현상을 구면좌표계로 모델링 했을 때 많은 현상들이 이렇게 모델링이 된다.
풀 수 있는가? 해석적인가?
양변을 \(y''\)의 계수로 나누자.
\[y'' - \frac{2x}{(1-x^2)}y' + \frac{n(n+1)}{(1-x^2)}y = 0\]\(x=0\)에서 해석적이다.
즉, power sereies로 풀 수 있다.
여기서 n은 임의의 정수이다.
power series
\[\sum_{m=2}^{\infty} m(m-1) a_m x^{m-2} - \sum_{m=2}^{\infty} m(m-1)a_m x^m - 2 \sum_{m=1}^{\infty}m a_m x^m + n(n+1) \sum_{m=0}^{\infty} n(n+1)a_m x^m = 0\]네개의 항으로 표현된다.
차수를 통일하면,
\[\sum_{s=0}^{\infty}(s+2)(s+1)a_{s+2} x^s - \sum_{s=2}^{\infty} s s(s-1) a_s x^m - 2 \sum_{s=1}^{\infty} s a_s x^s + n(n+1) \sum_{s=0}^{\infty}a_s x^s = 0\]index가 다 다르다.
공통적인 것은 2부터 시작하는 것이다.
s=0일때
\[1 \cdot 2 a_2 + n(n+1) a_0\]s=1일때
\[+ [2 \cdot 3 a_3 - 2\cdot 1 a_1 + n(n+1)a_1]x\]그 이상을 묶어준다.
\[+ \sum_{s=2}^{\infty}[(s+2)(s+1)a_{s+2}-s(s-1)a_s -2sa_s + n(n+1)a_s]x^s\] \[=0\]그러면 조건이 세개가 나온다.
첫번째의 \(a_2\)가 \(a_0\)으로 표현되는 것 하나,
두번째의 \(a_3\)가 \(a_1\)으로 표현되는 것 하나,
마지막으로 점화식.
이들을 가지고 해를 풀어보자.
\[(s=0)\] \[a_2 = - \frac{n(n+1)}{1 \cdot 2} a_0\] \[(s=1)\] \[a_3 = - \frac{(n-1)(n+2)}{2 \cdot 3}a_1\] \[(s \geq 2)\] \[a_{s+2} = - \frac{(n-s)(n+s+1)}{(s+2)(s+1)} a_s\]짝수번째와 홀수번째로 묶을 수 있다.
\[a_2=-\frac{n(n+1)}{2!} a_0\] \[a_3=-\frac{(n-1)(n+2)}{3!}a_1\] \[a_4=-\frac{(n-2)(n+3)}{4 \cdot 3}a_2 = \frac{(n-2)n(n+1)(n+3)}{4!}a_0\] \[a_5=-\frac{(n-3)(n+4)}{5 \cdot 4} a_3= \frac{(n-3)(n-1)(n+2)(n+4)}{5!} a_1\] \[\vdots\]르장드르 방정식의 해는
\[y=a_0 [x^{even} \cdots] + a_1[x^{odd} \cdots]\]각각이 하나의 기저이다.
기저
각각의 기저를 모아서 보면
\[y_1 = 1 - \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \frac{(n-2)n(n+1)(n+3)}{4!}x^4+\cdots\] \[y_2 = x - \frac{(n-1)(n+2)}{3!}x^3 + \frac{(n-3)(n-1)(n+2)(n+4)}{5!}x^5+\cdots\]\(y_1\)은 짝수 차수로만,
\(y_2\)는 홀수 차수로만 이루어져있다.
그런데 르장드르 방정식에는 n이 들어가있다.
여기서 n이 특정한 정수로 지정이 되면, 예를 들어 0이 된다면, 홀수차수에는 별로 지장이 없다. 그러나 짝수 차수에 대해서는 전부 없어진다. 상수항만이 남게된다.
n=1이면 짝수는 상관이 없는데 홀수차수는 전부 사라진다.
n=2, n=3, …
이렇게 n의 값에 따라서 유한한 수의 다항식이 얻어진다.
이렇게 얻어지는 유한한 수의 다항식을 르장드르 다항식(Legendre Polynomial)이라고 한다.
Legendre Polynomial
\[P_n(x)\]위와 같이 표현한다. P는 Polynomial.
그리고 \(P_n(1)=1\)이 되도록 상수를 곱해준다!
짝수항
\[P_0(x)=1\] \[P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)\] \[P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)\] \[\vdots\]각각의 n에 해당하는 항까지만 남는것을 볼 수 있다.
홀수항
\[P_1(x)=x\] \[P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x)\] \[P_5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)\] \[\vdots\]각각의 n에 해당하는 항까지만 남는것을 볼 수 있다.
앞의 분수들은 1 넣었을 때 1이 되도록 해주기 위함이다.
직교성
이들은 나중에 Fourier Analysis를 할 때 쓴다.
이 다항식들은 직교성이라는 것이 있는데, 푸리에를 하면 확인하게 될것이다.