Frobenius Method
프로베니우스 해법이라고 한다.
Power series를 확장시킨 방법이다.
해석적이지 않더라도 풀 수 있는 방법이다.
Regular Point
Analytic
\(p(x)\)는 \(x=0\)에서 해석적이다.
\[p(x)=p_0 + p_1x + p_2 x^2 + ...\]이 급수가 수렴한다면(양의 수렴 반지름을 가지고 수렴하면) 해석적이다. 이 두 명제는 서로 필요충분 관계이다.
해석적이라면?
\[y=\sum_{m=0}^{\infty}a_m x^m\]이런식으로 해를 가정하면, 대입하여 점화식을 얻게 되고, 그 점화식을 0, 1, 2, … 일일이 풀다보면, 결론적으로 이것은 2계방정식이기 때문에 기저 두개의 선형결합 형태를 얻을 수 있다!
\[y''+p(x)y'+q(x)y=0\]\(p(x),q(x)\)가 \(x=0\)에서 해석적이라면,
이는 Regular point라고 한다.
Regular point에서는 power series방법을 쓰면된다.
Singular point에서는 쓸수가 없다.
Singular Point
Singular point이면 해를 못구할까? 못구할 가능성이 높다.
그러나 특수한 singular point에 대해서는 적용할 수 있는 방법이 있다.
앞에 붙어있는 계수가 다음과 같은 형태이면 풀 수 있다.
\[y'' + \frac{b(x)}{x}y' + \frac{c(x)}{x^2}y=0\]\(b(x),c(x)\)가 \(x=0\)에서 해석적이다.
그러나 계수 전체를 보면 해석적이지 않다. 책에서는 이러한 지점을 너무 나쁘지는 않은 singular point라고 한다.
기존에는 다음과 같이 가정했다.
\[y=\sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m\]여기에 \(x^r\)을 곱한다.
\[y=x^r\sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m\]이걸 가정하여 대입하는것이 Frobenius Method이다. 그리고 점화식을 풀면 해를 얻을 수 있게 된다.
풀이
\[y'' + \frac{b(x)}{x}y' + \frac{c(x)}{x^2}y=0\] \[y=\sum_{m=0}^{\infty} a_m x^{m+r}\]이를 미분하면,
\[y'=\sum_{m=0}^{\infty} a_m x^{m+r-1}\]한번 더 미분하면,
\[y''=\sum_{m=0}^{\infty}(m+r)(m+r-1)a_m x^{m+r-2}\]미분한다고 없어지지 않기 때문에 index가 그대로 0으로 남아있다. 이걸 이제 대입을 해야하는데, 모양이 별로 좋지 않기 때문에 양변에 \(x^2\)을 곱한다.
\[x^2 y'' + x b(x) y' + c(x) y = 0\]여기에 대입해보자.
\[\sum_{m=0}^{\infty} (m+r)(m+r-1)a_m x^{m+r} \\\\ + (b_0 + b_1 x + ...) \sum_{m=0}^{\infty}(m+r)a_m x^{m+r} \\\\ + (c_0 + c_1x + ...)\sum_{m=0}^{\infty}a_m x^{m+r}=0\]모든 차수의 계수가 0이 되어야한다. 제일 낮은 차수부터 살펴보자.
\[r(r-1)a_0 + b_0 r a_0 + c_0 a_0=0\] \[r(r-1)+b_0 r+ c_0 = 0\]바로 위의 방정식에서 r에 대한 2차방정식이 나온다. \(r_1, r_2\)
\[y=x^r\sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m\]이 해 두개를 위의 방정식에 대입하여 점화식을 얻고 해를 구하는 것이 기본적인 방법이다. 그런데 \(r_1, r_2\)가 어떻게 생겼는지에 따라 경우가 나눠진다.
- \[r_1-r_2 \ne N\]
- 중근일때
- \[r_1-r_2 = N\]
실근 허근이 아니라 둘의 차이가 정수이냐 아니냐가 중요하다.
정수가 아닐 땐 그냥 \(r_1,r_2\)대입해서 각각 적용하고 점화식으로 해 두개를 구하면된다. 독립이 두개의 해를 얻는다.
그러나 중근이거나 정수일때는 다르다.
중근일 때는 당연히 기저가 하나밖에 없다.
정수일때는 두가지 해가 서로 독립이 아닌 경우가 있다. 비록 해가 두개지만.
그러면 어떻게해야하나?
계수내림법
2계에서 하나의 해를 알 때 나머지 해를 구하는 방법이 있었다. 계수내림법으로 나머지를 찾으면 된다.
\[y=x^r \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m\]해를 이런식으로 가정하였고, 방정식에 대입을 하였다. r에대한 2차방정식이 나오고, 그 해가 중근이거나 정수일 때.
\(y_1\)을 알면,
\[y_2=u(x)y_1\]여기서 \(u(x)\)의 형태를 찾는것. 이 방법은 Bessel방정식 풀면서 확인해보자.