Bessel Equation
\[x^2 y'' + xy' + (x^2- {\nu}^2) y = 0\]Bessel equation은 이와같이 생긴 이계 ODE이다. 매개변수 \(\nu\)를 가진다. 정수일 필요도 없고 어떤 실수를 가져도 된다.
이계미분의 계수인 \(x^2\)로 양변을 나누면
\[y''+\frac{1}{x}y' + \frac{x^2 - {\nu}^2}{x^2}y=0\]살펴보면 \(x=0\)이 regular point가 아니라 singular point임을 알수 있다. 그러나 분자가 해석적인 함수이다.
\[y= x^r \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^{m+r}\]이를 대입하면 항이 네개가 나올것이다. y’‘에서 하나, y’에서 하나, y에서 각각 \(x\)와 \(\nu\)에 대하여 하나씩, 총 네개. 이를 순서대로 적어보면,
\[y= x^r \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^{m+r} \\\\ \sum_{m=0}^{\infty}(m+r)(m+r-1)a_m x^{m+r} \\\\ + \sum_{m=0}^{\infty}(m+r)a_m x^{m+r} \\\\ + \sum_{m=0}^{\infty}a_m x^{m+r+2} \\\\ - \sum_{m=0}^{\infty} {\nu}^2 a_m x^{m+r} \\\\ =0\]나머지는 다 같은 차수지만, 세번째만 차수가 다르다. \(m+2=s, m=s-2\) 로 치환하자.
\[\sum_{s=0}^{\infty}(s+r)(s+r-1)a_s x^{s+r} \\\\ + \sum_{s=0}^{\infty}(s+r)a_s x^{s+r} \\\\ + \sum_{s=2}^{\infty}a_{s-2} x^{s+r} \\\\ - \sum_{s=0}^{\infty} {\nu}^2 a_s x^{s+r} \\\\ =0\]\(s=0,1\)일때는 별개로 처리하고, 그 이상부터는 합칠 수 있다.
\(s=0\)일때
\[r(r-1)a_0 + ra_0 - {\nu}^2 a_0 = 0\] \[(r+\nu)(r-\nu)a_0=0\] \[\therefore r= \nu, -\nu\]\(s=1\)일때
\[(r+1)ra_1 + (r+1)a_1 - {\nu}^2 a_1 = 0\]\(r=\nu\)를 대입하면,
\((2\nu+1)a_1=0\)과 연결
\[\therefore a_1=0\]\(s \ge 2\)일때
\[(s+r)(s+r-1)a_s + (s+r)a_s - a_{s-2}-{\nu}^2 a_s=0\] \[(s+2\nu)sa_s+a_{s-2}=0\]s를 짝수만 생각하려면, \(s=2m\)
\[(2m+2\nu)2ma_{2m}+a_{2m-2}=0\] \[a_{2m}=-\frac{a_{2m-2}}{2^2m(\nu+m)}\]m=1
\[a_2=-\frac{a_0}{2^2 \cdot 1 \cdot (\nu+1)}\] \[a_4=-\frac{a_2}{2^2 \cdot 2 \cdot (\nu+2)}=\frac{a_0}{2^4 \cdot 1 \cdot 2 (\nu+1)(\nu+2)}\] \[a_2m=\frac{(-1)^m a_0}{2^2m \cdot m!(\nu+1)\cdots(\nu+m)}\]이렇게 기저를 구하였다.
\[y_1=x^{\nu} \sum_{m=0}^{\infty}\frac{...}{...}x^{2m}\]그런데 \(a_{2m}\) 식을 보면 너무 지저분하다. 조금 깔끔하게 쓸 수 없을까? \((\nu+1)\cdots(\nu+m)\) 이부분을.
이를 위해선 사전지식이 필요한데, 감마함수 부분을 보자.
제 1종 Bessel Function
지금 \(r=\nu\)일 때를 다루고 있다.
\[a_0 = \frac{1}{2^{\nu} \Gamma (\nu+1)}\]이와같이 \(a_0\)를 정의하면,
\[a_{2m}=\frac{(-1)^m}{2^{2m_\nu} m! \Gamma(\nu+m+1)}\] \[\therefore J_{\nu}(x)= x^{\nu} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{2^{2m_\nu} m! \Gamma (\nu + m + 1)}x^{2m}\]이것이 첫번째 기저다.
이를 제 1종 Bessel Function이라고 한다.
제 2종 Bessel Function
\(r=-\nu\)일 때를 보자.
마찬가지 과정을 통해서 \(J_{-\nu}(x)\)를 구할 수 있다.
만약 이렇게 찾았더라도 독립이 아니면 의미가 없다. 기저가 하나밖에 없게 된다. \(r_1,r_2\)의 차이가 정수인지 아닌지가 중요하다.
\(2\nu\)가 정수가 아니면 둘다 기저가 된다.
\(\nu=0\) 혹은 정수인 경우가 문제이다.
이때 두번째 기저를 찾기 위해 제 2종 Bessel Function가 필요하다. 교재에서 읽어보자.
\[Y_{\nu}(x)\]이를 구한다음
\[c_1J_{\nu}(x) + c_2 Y_{\nu}(x)\]그런데 일관성을 위해서 매개변수 \(\nu\)가 어떤 숫자든 1종과 2종을 전부 사용할 수 있다.
Bessel Function도 역시 직교성이 있다.
나중에 PART C의 Fourier에서 다시 등장한다.
Gamma Function
\[\Gamma (\nu+1) = \int_0^{\infty}e^{-t}t^{\nu}dt \\\\ = \nu \Gamma(\nu)\]감마함수는 \(e,t,\nu\)에 대한 integral인데 마지막 줄처럼 정리되는 특성이 있다. 마찬가지로 다른것도 살펴보면,
\[(\nu+1)\Gamma (\nu+1) = \Gamma (\nu+2)\] \[(\nu+2)\Gamma (\nu+2) = \Gamma (\nu+3)\] \[\vdots\] \[(\nu+m)\Gamma (\nu+m) = \Gamma (\nu+m+1)\]