Laplace Transform
지금과는 다른 방법으로 미분방정식을 풀 수 있는 방법이다.
조금 번거로울 수 있다.
Definition
\[\mathscr{L}(f(t)) = \int_0^{\infty}e^{-st}f(t) dt \\\\ =F(s)\]그동안 x를 독립변수로 사용했는데 여기선 t로 사용하겠다.
t는 시간을 의미한다.
위의 식은 t에 대한 적분을 하여 s만 남게된다.
결국 s에 대한 함수이다.
t-s 영역
\(t\)영역 \(\leftrightarrow\) \(s\)영역
Laplace 변환
\[f(t) \rightarrow_{\mathscr{L}} F(s)\]Laplace 역변환
\[f(t) \leftarrow_{\mathscr{L}^{-1}} F(s)\]많은 함수들이 Laplace 변환을 통해서 t영역에서 s영역으로 변환이된다.
변환 표
\[\begin{array} \text{1} & \frac{1}{s} \\ t & \frac{1}{s^2} \\ e^{at} & \frac{1}{s-a} \\ sinwt & \frac{w}{s^2+w^2} \\ costwt & \frac{s}{s^2+w^2} \\ sinhat & \frac{a}{s^2-a^2} \\ coshat & \frac{s}{s^2-a^2} \\ \end{array}\]1을 제외하곤 변환하면 분모에 전부 s 2차항이다.
서로서로 일대일 대응된다. 다른 것으로 짝지어지지 않는다.
둘다 중요하지만 s에서 t로 넘어오는 역변환이 조금 더 중요한것 같음.
Linearity
라플라스 변환은 선형성을 지닌다.
\[\mathscr{L}(f(t))=F(s)\] \[\mathscr{L}(g(t))=G(s)\] \[\mathscr{L}(af+bg) \\\\ =aF+bG\]s-이동(제 1 이동정리)
\[e^{at}f(t) \rightarrow F(s-a)\]Example
어떤 함수가 라플라스 변환했더니
\[\frac{3s-137}{s^2+2s+401}\]가 되었다.
분모를 완전제곱할 수 있는걸 묶어보자.
\[\frac{3(s+1)-140}{(s+1)^2+20^2}\]분모에 s가 평행이동한 s+1로 묶이므로 분자에서도 s+1로 묶는다.
\[\frac{3(s+1)}{(s+1)^2+20^2}-\frac{-140}{(s+1)^2+20^2}\]평행이동하지 않은 예제는 다음과 같다.
\[\frac{s}{s^2+20^2} \rightarrow cos20t\] \[\frac{20}{s^2+20^2} \rightarrow sin20t\]그러나 평행이동했으므로 \(e^{*}\) 붙여준다.
\[\frac{3(s+1)}{(s+1)^2+20^2}-\frac{-140}{(s+1)^2+20^2}\]다시 돌아와서 첫번째 항엔 \(e^{-t}\), 두번째 항에도 \(e^{-t}\)를 붙여주면
\[3e^{-t}cos20t-7e^{-t}sin20t=f(t)\]도함수
\[f'(t) \leftrightarrow sF-f(0)\] \[f''(t) \leftrightarrow s^2F-sf(0)-f'(0)\]Example
\[y''-y=t\] \[y(0)=1, y'(0)=1\]방정식 양변에 Laplace 변환을 취하면,
\[y'' \rightarrow s^2 Y - s-1\] \[y \rightarrow Y\] \[t \rightarrow \frac{1}{s^2}\] \[s^2Y-s-1-Y=\frac{1}{s^2}\] \[(s^2-1)Y=\frac{1}{s^2}+s+1\] \[Y=\frac{1}{(s^2-1)s^2}+\frac{1}{s-1} \\\\ \frac{1}{s^2-1}-\frac{1}{s^2}+\frac{1}{s-1}\]하나씩 역변환하면
\[y(t)=sinht-t+e^t\]Laplace 변환의 장점
\[y''+ay'+by=r(t)\]계산과정에서 초기조건이 처리되는것도 장점이지만 중요한 것은 우변에 기존에 사용할 수 없었던 함수들을 처리할 수 있게된다.
다음 두가지 함수는 라플라스 변환에 의해 처리할 수 있다.
- Unit step function \(u(t-a)\)
- Dirac’s delta function \(\delta (t-a)\)
우변은 입력의 의미를 갖는다. 지금까진 우변에 삼각함수, 다항함수, 지수함수만을 다뤄왔는데 실제로 입력은 매우 다양하다.
펄스라던가, 있다가 없어지던가 등등..
Unit step function
\[u(t-a)\] \[u(t-a)=0(t \lt a)\] \[u(t-a)=1(t \gt a)\]a를 기준으로 오른쪽은 1, 왼쪽은 0이다.
\[u(t-a)-u(t-b)\]위는 a부터 b까지만 1이고, 나머지는 0인 모양.
\[u(t-2)sin(t-2)\]위는 2초부터 시작하는 sin함수
\[u(t-a) \leftrightarrow \frac{e^{-as}}{s}\] \[f(t-a)u(t-a) \leftrightarrow e^{-as}F(s)\] \[f(t) \leftrightarrow F(s)\]Example
\[y''+3y'+2y=u(t-1)-u(t-2)\] \[y(0)=0, y'(0)=0\]1초부터 신호가 들어왔다가 2초부터 신호가 없어진다.
\[s^Y+3sY+2Y=\frac{e^{-s}}{s}-\frac{s^{-2s}}{s}\] \[Y=\frac{(e^{-s}-e^{-2s})}{s(s+1)(s+2)} \\\\ =(e^{-s}-e^{-2s})(\frac{a}{s}+\frac{b}{s+1}+\frac{c}{s+2}) \\\\ =(e^{-s}-e^{-2s})F(s)\]통분하면,
\[a(s+1)(s+2)+bs(s+2)+cs(s+1)=1\]이 되야한다.
\[a+b+c=0\] \[3a+2b+c=0\] \[2a=1\] \[a=\frac{1}{2}\] \[b=-1\] \[c=\frac{1}{2}\]하나씩 역변환하면
\[f(t)=\frac{1}{2}-e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-2t}\]우리는 그러나 \(y(t)\)를 구해야 한다.
\[y(t)=u(t-1)(\frac{1}{2}-e^{-(t-1)}+\frac{1}{2}e^{-2(t-1)})-u(t-2)(\frac{1}{2}-e^{-(t-2)}+\frac{1}{2}e^{-2(t-2)})\]이렇게 해를 구하였다.
Dirac’s delta function
\[\delta (t-a)\] \[\delta (t-a) = 0 (t \ne a)\] \[\delta (t-a) = \infty (t = a)\]a부터 a_k까지 1/k의 크기를 갖고 나머지 부분에선 0의 크기를 갖는다고 할 때, 이 면적은 1이다.
\(k\rightarrow 0\) 일 때 이 크기는 발산한다.
a초에만 엄청난 impulse가 가해지는것.
\[\delta(t-a) \leftrightarrow e^{-as}\]Example
\[y''+ey'+2y=\delta(t-1)\] \[(s^2+3s+2)Y = e^{-s}\] \[Y=e^{-s}(\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}) \\\\ =e^{-s}F(s)\] \[f(t)=e^{-t}-e^{-2t}\]역변환하면
\[y(t)=u(t-1)e^{-(t-1)}-u(t-1)e^{-2(t-1)}\]Convolution
시스템 g(t)가 있고,
입력 f(t)가 있다.
시스템이 앰프나 이펙터같은 것이고,
입력은 목소리 같은 것이라고 생각했을 때,
목소리는 시작할 때 강한 신호로 트랜지언트가 있고 이후 점차 줄어든다고 생각하면 exp^{-\lambda} 느낌으로 모델링할 수 있다.
뒤집는 이유는 간단한데, 진짜 이해하는데 어려웠다..
일단 모든 입력은 시스템에 들어가면 시스템 g(t)를 전부 거친다.
그러면 먼저 입력된 녀석이 시스템에 먼저들어가는 것이다.
이를 이미지화하기 위해서 f나 g를 뒤집어서 표현하는 것이다.
이런 의미를 가지고, 계산은 별거없다. 그냥 하면된다.