부족한 부분은 OCW 국내 해외 강의 구글링하면서 보충
공학수학 자체를 목적으로 두기보다는 활용하는 도구로써 생각.
2계 선형 상 미분방정식
\[y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)\] \[y=y_h+y_p \\\\ =c_1y_1+c_2y_2 \text{ }+y_p\]Homogeneous해를 구하려면 \(y_1,y_2\)가 서로 선형독립이어야한다.
그러한 \(y_1,y_2\)를 기저라고 한다.
c(상수)가 살아있는 해를 한가지 표현형의 해를 일반해라고 한다.
상수를 결정된 해를 특수해라고 한다. 이는 초기조건이 필요하다.
다음 방정식에서 기저 두개를 찾는것이 중요하다.
- 상수계수 방정식
\(e^{\lambda x}\) 지수함수 형태꼴로 가정해서 대입해서 특수한 방정식을 얻어서 기저 두개를 찾는다. - Euler-Cauchy 방정식
\(x^m\) 형태로 가정해서 대입해서 해를 찾는다. - Legendre 방정식
\(\sum a_m x^m\) Power series를 이용해서 구한다. - Bessel 방정식
\(x^r \sum a_m x^m\) Frobenius 방식을 이용해서 구한다.
그러나 2계에서 가끔 기저가 하나만 구해질 때가 있다.
이 때 계수내림법을 이용하여 구한다.
Nonhomogeneous해에서 \(y_p\)는 미정계수법(매개변수변환법)을 이용한다.
매개변수변환법이 더 일반적이긴 하지만 어렵고, 미정계수법이 실용적이다.
마지막으로 Laplace Transform을 통해 복잡한 r(x)를 다룬다.