Conditional Expectation given an event
\[E(X|A)\]A가 event이다.
\[E(X)=E(X|A)(A) +E(X|A^c)P(A^c)\] \[E(X)=\sum_x P(X=x)\]위 식에서 P(X=x)를 LOTP로 확장한것이다.
Two Envelop Paradox
두 봉투가있다. 각 봉투에는 특정 양의 돈이 적힌 수표가있다.
한 봉투에는 다른 봉투의 두배에 해당하는 금액이 들어있다.
이 중 하나를 골랐을 때 100달러가 들어있었다.
이 때 봉투를 바꿀것인가? 각각 50달러이거나 200달러가 들어있을 것이다.
기대값으로 살펴보면 125$이기 때문에 바꾸는게 유리할것이다.
이게 말이되나?
각 돈봉투에 x달러와 y달러가 있다고 하자.
위의 주장을 식으로 적어보자.
Argument 1:
\(E(Y),E(X)\)가 대칭성에 따라 같다는 것이다.
Argument 2:
\[E(Y)=E(Y | Y=2X)P(Y=2X)+E(Y|Y=\frac{X}{2})P(Y=\frac{X}{2})\] \[=E(2X)(1/2)+E(X/2)1/2=\frac{5}{4}E(X)\]이 두 주장이 모두 같을 수가 있나?
1번은 확실히 맞다.
2번은 조건부에 관한 흔한 실수이다.
문제는 어떤 정보를 사용하고 잊어버린다는 것이다.
Y=2X로 가정해놓고 이 정보를 잊어버렸다.
\[E(Y)=E(Y|Y=2X)P(Y=2X)+E(Y|Y=\frac{X}{2})P(Y=\frac{X}{2}) \\\\ \ne E(2X)(1/2)+E(X/2)1/2=\frac{5}{4}E(X)\] \[E(Y|Y=2X)=E(2X)\]이는 성립하지 않는다.
\[E(2X|Y=2X)1/2+E(X/2|Y=X/2)1/2\]이를 계산해야한다.
조건부 기댓값
위에서 연속일 때 dxy가 아니라 dy.
E(Y|X)의 경우 Y에 관한 함수가 아니라 X에 관한 함수.
조건부 기댓값에서도 선형성은 유효하다.
1번 성질은 이미 알고 있는 값을 밖으로 빼내는 것.
2번 성질은 X,Y가 independent할 때.
3번 성질은 전체확률의 법칙의 일반화.
4번 성질은 상관관계를 나타내는 Cov의 식. X에 관한 임의의 식과 비상관.
\[E(Y-E(Y|X))=0\]
